椭圆齿轮啮合相关问题探讨

muoubear* · 发表于 2021-5-3 17:15:24

本帖最后由 muoubear* 于 2021-5-3 17:20 编辑

上一篇文章的留言里有个朋友提出两个问题：

为什么两啮合椭圆齿轮的齿数为奇数，而他在他们厂见到的有38齿的塑料椭圆齿轮；
这38齿的两椭圆齿轮，是以各自的中心为旋转中心，两齿轮啮合的中心距为a+b，即长半轴和短半轴之和，而文中所讲的两椭圆齿轮啮合的中心距为2a，即椭圆长轴的长度，这两者有什么区别。

先来说说问题 2

在ug里，我们也可以按中心旋转，a+b中心距啮合的方式进行仿真，以a=40，b=30为例，仅从仿真结果看，两者纯滚动或者说啮合存在干涉（图示中心点的左右振动），如图1所示。

图1 等参数的两个椭圆绕其中心进行纯滚动仿真情况

当两个曲线以固定的点旋转时，若始终能保持纯滚动，则这两条曲线互为共轭曲线。2018年我写过一篇用作图法求共轭曲线的文章，文章名：利用UG运动仿真模块求解任意曲线的等长共轭曲线，（文章我会在文末给出链接，或者大家通过点击阅读原文进行跳转），这里我们可以参考求共轭曲线的方法，求出一椭圆以中心进行旋转，以a+b为中心距的另一条共轭曲线，然后比较该共轭曲线和椭圆的差别。

用作图法求共轭曲线的操作步骤繁琐，这里不重新做了，直接使用以前做过的仿真动图，图2中蓝色为椭圆，其参数为：a=40，b=30，洋红为其共轭曲线，可以看出所求共轭曲线的轨迹与椭圆基本上没差别，其他参数的椭圆没有试过，该方式下，其共轭曲线是否就是其本身，不得而知。

图2 椭圆与其共轭曲线的纯滚动

以椭圆中心为旋转中心的两啮合齿轮，在实际应用中，我知道的也是在流量计中使用，其他地方不知道还有什么应用。正如这位朋友所说，他见到的也是流量计图纸中的椭圆齿轮。而以椭圆焦点为旋转中心的椭圆齿轮啮合，在实际应用中具体用于什么地方，我也不太清楚，只知道，以其焦点为旋转中心的椭圆齿轮啮合等效于反平行四边形机构，可参看本公众号相关文章：反平行四边形机构的应用解析。至于这两者有什么区别，只能说两种啮合方式应用的场合或者领域不同吧，更深一些的区别，就不清楚了，目前个人对椭圆齿轮的了解的也就这些了。

接下来探讨问题 1

两个等参数（分度椭圆等参数）啮合齿轮在两种不同啮合方式下齿数的问题，我们分别进行讨论，为方便说明，我们简称下面所有图片左侧的椭圆齿轮为椭圆1，右侧的为椭圆2。偶数齿椭圆齿轮有两种形式，即长轴两端均为齿，或者均为槽两种，奇数齿长轴一边是齿，另一边是槽，只有一种形式。

以各自的同侧焦点旋转，中心距为2a时：

两齿轮外形完全一致，即两齿轮叠放时，两齿轮完全重合，上下齿齿相对，槽槽相对。

当齿数为奇数时，如图3所示，其初始啮合位置，两齿轮可以正常啮合。

图3 两椭圆为奇数齿数17，齿轮可以正常啮合

当齿数为偶数时，有两种齿轮形态，从图4上可以看出，两齿轮始终是齿齿相对，无法啮合。

图4 两椭圆齿数18，齿形相同，无法啮合

两齿轮外形不一致，即两齿轮叠放时，椭圆1的齿对椭圆2的槽，椭圆1的槽对椭圆2的齿。两齿轮正好是齿槽相对，可以啮合。如图5所示。

图5 两椭圆齿数18，齿形相反，可以啮合。

以各自中心旋转，且以中心距为a+b时：

两齿轮外形完全一致，即两齿轮叠放时，两齿轮完全重合，上下齿齿相对，槽槽相对。

当齿数为奇数时，如图6所示，其初始啮合位置，两齿轮无法正常啮合。

图6 齿数为奇数17，齿形相同，无法啮合。

当齿数为偶数时，从图7上可以看出，两齿可以正常啮合。

图7 齿数为偶数18，齿形相同，可以啮合。

两齿轮外形不一致，即两齿轮叠放时，椭圆1的齿对椭圆2的槽，椭圆1的槽对椭圆2的齿。从图8上可以看出，两齿轮都无法进行啮合。

图8 齿数为偶数18，齿形相反，无法啮合。

总结：

将以上文字的描述进行综合，两椭圆齿轮能否啮合参见下列表格：

[td]

	奇数	偶数（齿相同）	偶数（齿相反）
焦点旋转轴，中心距2a	可啮合	不可啮合	可啮合
中心旋转轴，中心距a+b	不可啮合	可啮合	不可啮合