Step函数曲线方程浅析

muoubear*

官方帮助文档关于STEP函数的表述如图1所示：

图1 STEP函数表述

官方将STEP函数称之为三阶混合函数，图1中对于STEP函数的表述译文如下：

STEP(u, xmin, ymin, xmax, ymax)

其中：
u<xmin，Step=ymin
u>xmax，Step=ymax
xmin<u<xmax, Step函数返回三阶函数值，使该点位于(xmin，ymin)和(xmax，ymax)两点之间，三阶函数在xmin和xmax处的斜率为0。

为了和软件中STEP函数的参数字符对应，并方便讲解，使用下面的表述：

y =STEP(x, x0, h0, x1, h1)

其中
x，时间变量，取值范围[0，t]，t为解算方案中的时间。
x0，[0, t]时间区间上某个时间点；
h0，x<x0，Step=h0；
x1，[0, t]时间区间的另一个时间点；
h1，x>x1，Step=h1；；
(x0，h0)和(x1，h1)两点之间为三次函数值，三次函数在两点处的斜率为0。

从图1可以看出STEP函数的曲线可以分为3部分：

当 x<x0时，y1=h0，y1为一段水平直线
x0<x<x1时，y2=？y2为一段拟合曲线，拟合曲线两端分别相切于两段水平直线
x>x1时，y3=h1，y3为一段水平直线

这里我们并不知道拟合曲线的方程，图1资料仅指出该曲线为三阶函数曲线，这里我们先假设该曲线为二阶函数曲线，并将两点间的拟合曲线拆分成两部分，用一元二次方程顶点式分别表示这两段曲线的方程，表述如下：

y1 =h0，x∈[0, x0]，y1为一段水平直线；
y2 = a*(x-x0)^2+h0，x∈[x0，x1]，y2为一段开口向上的二次曲线，与y1相切于最低点（x0，h0），与y3相切于点（(x0+x1)/2，(h0+h1)/2）；
y3 =-a*(x-x1)^2+h1，x∈[x0，x1]，y3为一段开口向下的二次曲线，与y3相切于最高点（x1，h1），与y2相切于点（(x0+x1)/2，(h0+h1)/2）；
y4 =h1，x∈[x1, t]，y4为一段水平直线。

以上y1和y2曲线方程确定，y3和y4两段二次曲线方程系数a待求，两曲线形状完全相同，y4相当于y3绕点（(x0+x1)/2，(h0+h1)/2）旋转了180度。

将已知点（(x0+x1)/2，(h0+h1)/2）代入到y2，y3中，则

可得 a= 2*(h1-h0)/(x1-x0)^2

将a的值代入到y2，y3方程，则

可得        y2= 2*(h1-h0)/(x1-x0)^2 * (x-x0)^2+h0，x∈[x0，(x0+x1)/2]

                        y3=-2*(h1-h0)/(x1-x0)^2 * (x-x1)^2+h1，x∈[(x0+x1)/2，x1]

所以整段曲线的方程可表示为：

y=h0，x∈[0, x0]
•2*(h1-h0)/(x1-x0)^2 * (x-x0)^2+h0，x∈[x0，(x0+x1)/2]
•-2*(h1-h0)/(x1-x0)^2 * (x-x1)^2+h1，x∈[(x0+x1)/2，x1]
•h1，x∈[x1, t]

参考上述二次曲线的做法，我们也用方程顶点式分别表示这两段三次曲线的方程，表述如下：

y1 =h0，x∈[0, x0]，y1为一段水平直线；
y2 =a*(x-x0)^3+h0，x∈[x0，x1]，y2为三次曲线的凹曲线部分，与y1相切于最低点（x0，h0），与y3相切于点（(x0+x1)/2，(h0+h1)/2）；
y3 =a*(x-x1)^3+h1，x∈[x0，x1]，y3为三次曲线的凸曲线部分，与y3相切于最高点（x1，h1），与y2相切于点（(x0+x1)/2，(h0+h1)/2）；
y4 =h1，x∈[x1, t]，y4为一段水平直线。

以上y1和y2曲线方程确定，y3和y4两段三次曲线方程系数a待求，两曲线形状完全相同，y4相当于y3绕点（(x0+x1)/2，(h0+h1)/2）旋转了180度。

将已知点（(x0+x1)/2，(h0+h1)/2）代入到y2，y3中，则

得 a= 4*(h1-h0)/(x1-x0)^3

将a的值代入到y2，y3方程，则

y2= 4*(h1-h0)/(x1-x0)^3 * (x-x0)^3+h0，x∈[x0，(x0+x1)/2]

y3= 4*(h1-h0)/(x1-x0)^3 * (x-x1)^3+h1，x∈[(x0+x1)/2，x1]

所以整段曲线的方程可表示为：

y=h0，x∈[0, x0]
•4*(h1-h0)/(x1-x0)^3 * (x-x0)^3+h0，x∈[x0，(x0+x1)/2]
•4*(h1-h0)/(x1-x0)^3 * (x-x1)^3+h1)，x∈[(x0+x1)/2，x1]
•h1，x∈[x1, t]

官方帮助没有给出STEP函数(x0，h0)和(x1，h1)两点之间的曲线方程，以上关于STEP曲线方程纯属推测，下面我们在软件中进行验证。

在草图中绘制一个边长为100的正方形，正方形左下角再绘制一个直径为5的圆，如图2所示。

图2 绘制草图

选择这个圆作为连杆，选该连杆进行驱动，x方向使用多项式驱动，速度为10，y方向使用函数驱动，其STEP函数表示为：

STEP(x, 1, 10, 9, 90)，表示前1s时，y=10，9s后，y=90，两点间则为三次混合曲线。

对圆心创建标记并追踪，可以得到该函数的曲线轨迹，如图3所示。

图3 STEP函数曲线轨迹

muoubear*

首先验证我们二次曲线方程，我们使用IF函数驱动，曲线的IF函数表示为：

IF(x<x0, h0, IF(        x<(x0+x1)/2, 2*(h1-h0)/(x1-x0)^2 * (x-x0)^2+h0,IF(        x<x1, -2*(h1-h0)/(x1-x0)^2 * (x-x1)^2+h1, h1)))

重新求解，可发现二次拟合曲线的追踪点轨迹和STEP函数的轨迹不一致，如图4所示。

图4 二次函数拟合曲线轨迹

再验证三次曲线方程，使用IF函数驱动，曲线的IF函数表示为：

IF(x<x0, h0, IF(        x<(x0+x1)/2, 4*(h1-h0)/(x1-x0)^3 * (x-x0)^3+h0,IF(        x<x1, 4*(h1-h0)/(x1-x0)^3 * (x-x1)^3+h1, h1)))

重新求解，可发现三次拟合曲线的追踪点轨迹和STEP函数的轨迹仍不一致，如图5所示。

图5 三次函数拟合曲线轨迹

部分书籍和教程上有给出STEP函数的方程，其表示如下：

y= h0 ，x∈[0, x0]         h0+((x-x0)/(x1-x0))^2*(h1-h0)，x∈[x0, x1]         h1，x∈[x1, t]

验证上述方程，使用IF函数驱动，曲线的IF函数表示为：

IF(x<x0, h0, IF(        x<x1, h0+((x-x0)/(x1-x0))^2*(h1-h0),h1))

重新求解，可发现上述拟合曲线的追踪点和STEP函数轨迹不符，是一条方向向上的二次曲线，曲线仅在最低点（x0，h0）处和第一段水平线相切，如图6所示。

图6 其他二次方程拟合曲线轨迹

总结：根据上面分析可以看出，STEP函数拟合段的曲线方程并非上述这些方程，以上关于STEP函数拟合曲线的分析为个人观点，仅供参考。

STEP函数官方在线文档链接：https://docs.plm.automation.siemens.com/data_services/resources/nx/12/nx_help/common/zh_CN/graphics/fileLibrary/nx/tdoc_motion/simcenter_motion_expressions.pdf

如云得龙

佩服。

清源妙道真君

讲的太好了。最近学运动仿真，网上搜到的STEP函数都是如何运用，学到的也是一知半解。经过楼主这么讲解，对STEP函数的认识加深了一层