NURBS非均匀有理B样条曲线_认识

破衣哥*

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    NURBS是一种非常优秀的建模方式，在高级三维软件当中都支持这种建模方式。NURBS能够比传统的网
格建模方式更好地控制物体表面的曲线度，从而能够创建出更逼真、生动的造型。
    NURBS是非均匀有理B样条曲线（Non-Uniform Rational B-Splines）的缩写，NURBS由Versprille
在其博士学位论文中提出，1991年，国际标准化组织（ISO）颁布的工业产品数据交换标准STEP中，把
NURBS作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法。1992年，国际标准化组织又将NURBS纳入到规定
独立于设备的交互图形编程接口的国际标准PHIGS（程序员层次交互图形系统）中，作为PHIGS Plus的
扩充部分。Bezier、有理Bezier、均匀B样条和非均匀B样条都被统一到NURBS中。
    NURBS曲线和NURBS曲面在传统的制图领域是不存在的，是为使用计算机进行3D建模而专门建立的。在3D建模的内部空间用曲线和曲面来表现轮廓和外形。它们是用数学表达式构建的，NURBS数学表达式
是一种复合体。NURBS样条一般运用于三维设计软件建模中，贝塞尔曲线则通常出现于二维图形软件里面。
曲线连续性
    所有的曲线都有Degree(度数），又称阶数或次数。一条曲线的度数在表现所使用的等式里面是最主
要的指数。一个直线的等式度数是1，一个二次的等式度数是2.NURBS曲线表现是立方等式，度数是3.
可以把度数设得很高，但通常不必要这样做。虽然度数越高曲线越圆滑，但计算时间也越长。一般只
要记住Degree(度数）值越高曲线越圆滑就可以了。
    曲线也都有Continuity(连续性）。一条连续的曲线是不间断的。连续性有不同的级别，一条曲线有一
个角度或尖端，它的连续性是C0。一条曲线如果没有尖端但曲率有改变，连续性是C1。如果一条曲线
是连续的，曲率不改变，连续性是C2。
    另外一种连续性的表示是几何连续性，G0、G1、G2、G3 可以通过恰当的参数变换得到相应的C0、C1
、C2、C3。一条曲线可以有较高的连续性，但对于计算机建模来说这三个级别已经够了。通常眼睛不能
区别C2连续性和更高的连续性之间的差别。连续性和度数是有关系的。一个度数为3的等式能产生C2连
续性曲线。NURBS造型通常不需要这么高度数的曲线。
    一条不同片断的NURBS曲线可以用不同级别的连续性。具体来说，在同样的位置或非常靠近的地方放
置一些可控点，会降低连续性的级别。两个重叠的可控点会使曲率变尖锐。三个重叠的可控点会在曲线
里建立一个有角度的尖角。附加一个或两个可控点会在曲线的附近联合它们的影响力。

从贝塞尔到B样条曲线

    贝塞尔曲线由起点、终点和其他控制点来影响曲线的形状。在二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线中，

可以通过调整控制点的位置而得到很好的平滑性（C2级连续性 曲率级）的曲线。当增加更多的控制点

的时候，这种平滑性就被破坏了。如下图所示，前两个曲线很平滑（曲率级的连续性），第三个曲线

在增加了一个控制点之后，曲线被拉伸了，其平滑性遭到了破坏。

B样条的工作方式类似于贝塞尔曲线，但不同的是曲线被分成很多段。每段曲线的形状只受到最近的

四个控制点的影响，这样曲线就像是4阶的贝塞尔曲线拼接起来的。这样很长的有很多控制点的曲线就

会有固定的连续性，平滑性（每一段都是c2级的连续性）。

NURBS定义

    NURBS是Non-Uniform Rational B-Splines的缩写，是非均匀有理B样条的意思。具体解释是：
    Non-Uniform(非均匀性）：是指一个控制顶点的影响力的范围能够改变。当创建一个不规则曲面的时
候这一点非常有用。同样，统一的曲线和曲面在透视投影下也不是无变化的，对于交互的3D建模来说
这是一个严重的缺陷。
    Rational(有理）：是指每个NURBS物体都可以用有理多项式形式表达式来定义。
    B-Spline(B样条）：是指用路线来构建一条曲线，在一个或更多的点之间以内插值替换的。
简单地说，NURBS就是专门做曲面物体的一种造型方法。NURBS造型总是由曲线和曲面来定义的，所以
要在NURBS表面里生成一条有棱角的边是很困难的。就是因为这一特点，我们可以用它做出各种复杂的曲
面造型和表现特殊的效果，如人的皮肤，面貌或流线型的跑车等。
Bezier曲线、B样条和NURBS的区别
简单来说，就是:
   Bezier曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状，而B样条中的控制点只会影响整个曲线的一部分，
显然B样条提供了更多的灵活性；
   Bezier和B样条都是多项式参数曲线，不能表示一些基本的曲线，比如圆，所以引入了NURBS，即非均
匀有理B样条来解决这个问题；

   Bezier曲线只是B样条的一个特例而已，而B样条又是NURBS的一个特例，它们的关系可以图示为：

B样条克服了Bezier曲线的一些缺点，Bezier曲线的每个控制点对整条曲线都有影响，也就是说
，改变一个控制点的位置，整条曲线的形状都会发生变化，而B样条中的每个控制点只会影响
曲线的一段参数范围，从而实现了局部修改


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    对于我们设计人员来说，不需要过多的去了解其计算过程，只需要了解其中一

些参数代表什么意思就行，比如度数，次数，以便于我们在设计过程中相关参

数的设置。

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受教了。谢谢分享。