贝塞尔曲线_认识

破衣哥*

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本文摘自网络


    贝塞尔曲线(Bézier curve)，又称贝兹曲线或贝济埃曲线，是应用于二维图形应用程序的数学曲线。一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线由线段与节点组成，节点是可拖动的支点，线
段像可伸缩的皮筋.贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线.
    贝塞尔曲线于1962，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线
来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau于1959年运用de Casteljau演算法开
发，以稳定数值的方法求出贝兹曲线。
贝塞尔曲线作用:
    由于用计算机画图大部分时间是操作鼠标来掌握线条的路径，与手绘的感觉和效果有很大的差别。
即使是一位精明的画师能轻松绘出各种图形，拿到鼠标想随心所欲的画图也不是一件容易的事。这一
点是计算机万万不能代替手工的工作，所以到目前为止人们只能颇感无奈。使用贝塞尔工具画图很大
程度上弥补了这一缺憾。
    贝塞尔曲线是计算机图形图像造型的基本工具，是图形造型运用得最多的基本线条之一。它通过控
制曲线上的四个点（起始点、终止点以及两个相互分离的中间点）来创造、编辑图形。其中起重要作
用的是位于曲线中央的控制线。这条线是虚拟的，中间与贝塞尔曲线交叉，两端是控制端点。移动两
端的端点时贝塞尔曲线改变曲线的曲率（弯曲的程度）；移动中间点（也就是移动虚拟的控制线）时
，贝塞尔曲线在起始点和终止点锁定的情况下做均匀移动。注意，贝塞尔曲线上的所有控制点、节点
均可编辑。这种“智能化”的矢量线条为艺术家提供了一种理想的图形编辑与创造的工具。

公式推算
线性曲线
给定点P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出：

当参数t变化时，其过程如下：

线性贝塞尔曲线函数中的t会经过由P0至P1的B（t）所描述的曲线。例如当t=0.25时，B（t）即一条
由点P0至P1路径的四分之一处。就像由0至1的连续t，B（t）描述一条由P0至P1的直线。
二次曲线
二次方贝塞尔曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B（t）追踪：

为建构二次贝塞尔曲线，可以中介点Q0和Q1作为由0至1的t：
* 由P0至P1的连续点Q0，描述一条线性贝塞尔曲线。
* 由P1至P2的连续点Q1，描述一条线性贝塞尔曲线。
* 由Q0至Q1的连续点B（t），描述一条二次贝塞尔曲线。
二次曲线看起来就是这样的：

三次曲线
为建构高阶曲线，便需要相应更多的中介点。对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点Q0、
Q1、Q2，和由二次曲线描述的点R0、R1所建构。
P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1，
并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的
间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长度有多长”。
曲线的参数形式为：

看起来就是这样的：

高阶曲线
更高阶的贝塞尔曲线，可以用以下公式表示：
用表示由点P0、P1、…、Pn所决定的贝塞尔曲线。则有：

更多的关于贝塞尔曲线的内容，你可以去查阅各种数学书。加油，求知的骚年。
应用
在几乎所有的高级图像软件中，均使用到了三次贝塞尔曲线来实现“平滑曲线”绘制功能。例
如Photoshop中的“钢笔”，CoralDraw中的“贝塞尔工具”，Fireworks中的“画笔”。


贝塞尔曲线常用于2D图形设计软件里面,比如PS,AI.

以上内容摘自网络,如有错误,请指正
对于我们专业的设计人员来说,不需要去了解这些公式运算过程,只需要了解其在我们使用到的相关设计
软件中的形成原理即可
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hbabc*

顶破衣哥 :handshake

sdgdjgb

非常好。学习了。谢谢分享。

jinshascu

学习了，长见识！！！