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标题: 贝塞尔曲线_认识 [打印本页]

作者: 破衣哥*    时间: 2015-5-22 12:42
标题: 贝塞尔曲线_认识
本帖最后由 破衣哥 于 2015-5-23 00:28 编辑

                                             贝塞尔曲线_认识
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本文摘自网络


    贝塞尔曲线(Bézier curve),又称贝兹曲线或贝济埃曲线,是应用于二维图形应用程序的数学曲线。一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线,贝兹曲线由线段与节点组成,节点是可拖动的支点,线
段像可伸缩的皮筋.贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线.
    贝塞尔曲线于1962,由法国工程师皮埃尔·贝塞尔(Pierre Bézier)所广泛发表,他运用贝塞尔曲线
来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau于1959年运用de Casteljau演算法开
发,以稳定数值的方法求出贝兹曲线。
贝塞尔曲线作用:
    由于用计算机画图大部分时间是操作鼠标来掌握线条的路径,与手绘的感觉和效果有很大的差别。
即使是一位精明的画师能轻松绘出各种图形,拿到鼠标想随心所欲的画图也不是一件容易的事。这一
点是计算机万万不能代替手工的工作,所以到目前为止人们只能颇感无奈。使用贝塞尔工具画图很大
程度上弥补了这一缺憾。
    贝塞尔曲线是计算机图形图像造型的基本工具,是图形造型运用得最多的基本线条之一。它通过控
制曲线上的四个点(起始点、终止点以及两个相互分离的中间点)来创造、编辑图形。其中起重要作
用的是位于曲线中央的控制线。这条线是虚拟的,中间与贝塞尔曲线交叉,两端是控制端点。移动两
端的端点时贝塞尔曲线改变曲线的曲率(弯曲的程度);移动中间点(也就是移动虚拟的控制线)时
,贝塞尔曲线在起始点和终止点锁定的情况下做均匀移动。注意,贝塞尔曲线上的所有控制点、节点
均可编辑。这种“智能化”的矢量线条为艺术家提供了一种理想的图形编辑与创造的工具。

公式推算
线性曲线
给定点P0、P1,线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出:

当参数t变化时,其过程如下:

线性贝塞尔曲线函数中的t会经过由P0至P1的B(t)所描述的曲线。例如当t=0.25时,B(t)即一条

由点P0至P1路径的四分之一处。就像由0至1的连续t,B(t)描述一条由P0至P1的直线。
二次曲线
二次方贝塞尔曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B(t)追踪:

为建构二次贝塞尔曲线,可以中介点Q0和Q1作为由0至1的t:
* 由P0至P1的连续点Q0,描述一条线性贝塞尔曲线。
* 由P1至P2的连续点Q1,描述一条线性贝塞尔曲线。
* 由Q0至Q1的连续点B(t),描述一条二次贝塞尔曲线。
二次曲线看起来就是这样的:

三次曲线
为建构高阶曲线,便需要相应更多的中介点。对于三次曲线,可由线性贝塞尔曲线描述的中介点Q0、

Q1、Q2,和由二次曲线描述的点R0、R1所建构。
P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1,

并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2;这两个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的
间距,决定了曲线在转而趋进P3之前,走向P2方向的“长度有多长”。
曲线的参数形式为:

看起来就是这样的:

高阶曲线
更高阶的贝塞尔曲线,可以用以下公式表示:
表示由点P0、P1、…、Pn所决定的贝塞尔曲线。则有:

更多的关于贝塞尔曲线的内容,你可以去查阅各种数学书。加油,求知的骚年。
应用
在几乎所有的高级图像软件中,均使用到了三次贝塞尔曲线来实现“平滑曲线”绘制功能。例

如Photoshop中的“钢笔”,CoralDraw中的“贝塞尔工具”,Fireworks中的“画笔”。


贝塞尔曲线常用于2D图形设计软件里面,比如PS,AI.

以上内容摘自网络,如有错误,请指正
对于我们专业的设计人员来说,不需要去了解这些公式运算过程,只需要了解其在我们使用到的相关设计
软件中的形成原理即可
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作者: hbabc*    时间: 2015-5-22 13:51
顶破衣哥 :handshake
作者: sdgdjgb    时间: 2015-5-22 14:37
非常好。学习了。谢谢分享。
作者: jinshascu    时间: 2018-3-23 09:22
学习了,长见识!!!




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